Multipole Expansion · 多重極展開
위 그림과 같이 임의의 전하분포
ρ ( r ′ ) \displaystyle \rho(\mathbf{r'}) ρ ( r ′ ) 을 가정하자. 즉
r ′ \mathbf{r'} r ′ 의 위치에 분포하는 전하밀도를
r \mathbf{r} r 의 시점에서 관찰하고 있는 상황인 것이다.
그러면 잘 알다시피
r \mathbf{r} r 에서
전기 퍼텐셜 은
Φ ( r ) = 1 4 π ε 0 ∭ V ρ ( r ′ ) ∣ r − r ′ ∣ d V ′ \displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iiint_{V} \frac{\rho(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r-r'}|}\,dV' Φ ( r ) = 4 π ε 0 1 ∭ V ∣ r − r ′ ∣ ρ ( r ′ ) d V ′ 위와 같이 쓰여질 것이다.
V V V 는 전하가 있는 영역이고, 위 그림에선 음영 영역이 될 것이다. 이제 위의
전기 퍼텐셜 을 다중극 전개한다고 생각하자. 다중극 전개는 전하분포의 위치로부터 충분히 멀리 떨어진 시점에서 관찰한다는 가정을 기억하자. 즉,
r ′ ≪ r r' \ll r r ′ ≪ r 이다.
구면좌표계에서 다음과 같은 전개식
이 성립한다.
Φ ( r ) = 1 4 π ε 0 ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l 4 π 2 l + 1 q l m Y l m ( θ , ϕ ) r l + 1 \displaystyle \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) ={1\over 4\pi \varepsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} {4\pi \over 2l+1} q_{l}^{m} {Y_{l}^m(\theta, \, \phi)\over r^{l+1}} Φ ( r ) = 4 π ε 0 1 l = 0 ∑ ∞ m = − l ∑ l 2 l + 1 4 π q l m r l + 1 Y l m ( θ , ϕ ) Y l m Y_{l}^{m} Y l m 은
구면 조화 함수 (Spherical harmonics)이다.
전개식의 유도는 다음과 같다.
r ′ ≪ r r' \ll r r ′ ≪ r 인 영역을 다루고 있으므로
1 ∣ r − r ′ ∣ = ∑ l = 0 ∞ r < l r > l + 1 P l ( cos γ ) \displaystyle {1\over |\mathbf{r-r'}|} = \sum_{l=0}^{\infty} {r_{<}^l \over r_{>}^{l+1}}P_{l}(\cos{\gamma}) ∣ r − r ′ ∣ 1 = l = 0 ∑ ∞ r > l + 1 r < l P l ( cos γ ) 이고, 여기서
γ \gamma γ 는
r , r ′ \mathbf{r,\,r'} r , r ′ 사이의 각이며,
min ( r , r ′ ) ≡ r < \min(r,\,r') \equiv r_{<} min ( r , r ′ ) ≡ r < ,
max ( r , r ′ ) ≡ r > \max(r,\,r') \equiv r_{>} max ( r , r ′ ) ≡ r > 이다. 여기에
P l ( cos γ ) = 4 π 2 l + 1 ∑ m = − l l Y l m ∗ ( θ ′ , ϕ ′ ) Y l m ( θ , ϕ ) \displaystyle P_{l}(\cos{\gamma}) = {4\pi\over 2l+1} \sum_{m=-l}^{l} Y_l^{m*}(\theta',\,\phi')Y_l^m(\theta,\,\phi) P l ( cos γ ) = 2 l + 1 4 π m = − l ∑ l Y l m ∗ ( θ ′ , ϕ ′ ) Y l m ( θ , ϕ ) 를 가함으로 위의 다중극 전개가 얻어진다. 즉,
q l m = ∭ V Y l m ∗ ( θ ′ , ϕ ′ ) ( r ′ ) l ρ ( r ′ ) d V ′ \displaystyle q_{l}^{m} = \iiint_V Y_{l}^{m*}(\theta',\,\phi')(r')^l\rho(\mathbf{r'})\, dV' q l m = ∭ V Y l m ∗ ( θ ′ , ϕ ′ ) ( r ′ ) l ρ ( r ′ ) d V ′ 임을 얻는다.
직교좌표계에서는 잘 아는
테일러 전개 를 이용해 보도록 하자. 잘 알다시피, 다변수 함수에 대하여 테일러 전개는 다음과 같다.
1 ∣ r − r ′ ∣ = 1 [ ( r − r ′ ) ⋅ ( r − r ′ ) ] 1 / 2 = 1 [ r 2 − 2 r ⋅ r ′ + r ′ 2 ] 1 / 2 = 1 r [ 1 − 2 r ⋅ r ′ + r ′ 2 r 2 ] − 1 / 2 = 1 r [ 1 − 1 2 r ′ 2 − 2 r ⋅ r ′ r 2 + 3 8 ( r ′ 2 − 2 r ⋅ r ′ r 2 ) 2 + ⋯ ] \displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{|\mathbf{r-r'}| } &=\frac{1}{[(\mathbf{r-r'})\cdot(\mathbf{r-r'}) ]^{1/2}} \\ &=\frac{1}{[r^{2}-2 \mathbf{r \cdot r'}+{r'}^{2}]^{1/2}} \\ &=\frac{1}{r} \left[ 1-\frac{2 \mathbf{r \cdot r'}+{r'}^{2}}{r^{2}} \right ]^{-1/2} \\ &=\frac{1}{r} \left[ 1-\frac{1}{2} \frac{{r'}^{2}-2\mathbf{r \cdot r'}}{r^{2}}+\frac{3}{8} \left(\frac{{r'}^{2}-2\mathbf{r \cdot r'}}{r^{2}} \right )^{2}+\cdots \right] \end{aligned} ∣ r − r ′ ∣ 1 = [( r − r ′ ) ⋅ ( r − r ′ ) ] 1/2 1 = [ r 2 − 2 r ⋅ r ′ + r ′ 2 ] 1/2 1 = r 1 [ 1 − r 2 2 r ⋅ r ′ + r ′ 2 ] − 1/2 = r 1 1 − 2 1 r 2 r ′ 2 − 2 r ⋅ r ′ + 8 3 ( r 2 r ′ 2 − 2 r ⋅ r ′ ) 2 + ⋯ 아래와 같은 정의
p ( r ′ ) ≡ ∭ V r ′ ρ ( r ′ ) d V ′ Q i j ≡ ∭ V ( 3 r i ′ r j ′ − δ i j r ′ 2 ) ρ ( r ′ ) d V ′ \displaystyle \mathbf{p}(\mathbf{r'})\equiv \iiint_{V} \mathbf{r'}\rho(\mathbf{r'})\,dV' \qquad \qquad Q_{ij} \equiv \iiint_{V} (3r'_{i}r'_{j}-\delta_{ij}{r'}^{2}) \rho(\mathbf{r'})\,dV' p ( r ′ ) ≡ ∭ V r ′ ρ ( r ′ ) d V ′ Q ij ≡ ∭ V ( 3 r i ′ r j ′ − δ ij r ′ 2 ) ρ ( r ′ ) d V ′ 로 두면 최종적으로
전기 퍼텐셜 은
Φ ( r ) = 1 4 π ε 0 [ Q t o t r + p ⋅ r r 3 + 1 2 ∑ i j Q i j r i r j r 5 + ⋯ ] \displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[ \frac{Q_{\mathrm{tot} }}{r}+\frac{\mathbf{p \cdot r}}{r^{3}}+\frac{1}{2}\sum_{ij}Q_{ij}\frac{r_{i}r_{j}}{r^{5}} + \cdots \right ] Φ ( r ) = 4 π ε 0 1 [ r Q tot + r 3 p ⋅ r + 2 1 ij ∑ Q ij r 5 r i r j + ⋯ ] 로, 쓸 수 있다. 위에서
Q t o t Q_{\mathrm{tot}} Q tot 는 전하 분포
V V V 의 총 전하이며, 다음과 같다.
Q t o t ≡ ∭ V ρ ( r ′ ) d V ′ \displaystyle Q_{\mathrm{tot}} \equiv \iiint_{V} \rho(\mathbf{r'}) \, dV' Q tot ≡ ∭ V ρ ( r ′ ) d V ′ 위의 논의로
전기 퍼텐셜 을 홀극(Monopole; 첫째항), 쌍극자(Dipole; 둘째항)와 사중극자(Quadrupole; 셋째항) 및 더 높은 항들로 전개된다는 것을 알 수 있다.
